[통계학의 이해Ⅰ] 11주차 정규분포 -2. 정규분포의 성질

해당 글은 숙명여자대학교 여인권 교수님의

K-MOOC 통계학의 이해Ⅰ(2019.05.01~2019.08.03) 강의를 수강하며 복습 및 정리하기 위해 작성한 글입니다.

추가적으로 여인권 교수님의 통계학 기본개념과 원리 2판을 참고하였습니다.

K-MOOC 사이트 링크 공유합니다.

---

학습목표

• 정규분포의 성질에 대해 알아보고 이를 응용한 문제에 대해 살펴본다.

---

정규분포의 표준화

• 확률변수 X의 평균이 μ이고, 표준편차가 σ ( σ  >0 )인 경우

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지1

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지1

• 정규분포의 모수는 평균과 분산

확률변수 X가 정규분포를 따르면 이 확률변수의 선형변환 aX + b도 정규분포를 따름

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지2

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지2

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지2

• 선형변환된 정규분포의 평균과 분산은 위와같이 계산할 수 있다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지2

• 표준정규분포에서 σ을 곱하고 평균을 더하면 일반적인 형태의 정규분포가 된다.
• 이러한 일반적인 형태의 정규분포에서 평균을 빼고 σ로 나누면 표준정규분포가 된다.
• 이 두가지 형태가 왔다갔다 하게 되는 것이고, 이를 통해 다양한 문제를 해결할 수 있다.

통계학 기본개념과 원리 제 2판 p206

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지3

• 해당 값을 직접 계산할 수 없으니, 표준화를 한 뒤 계산을 한다.

• 평균과 표준편차를 이용해서 표준화하여 표준정규분포로 만들어준 뒤 계산진행

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지3

예제

시험 점수의 분포

• 평균이 490이고 표준편차가 50인 정규분포를 따른다면
  • 600점 이상 받을 확률은?

• 상위 5%인 사람의 점수는?

• 이와 같은 문제를 풀 때, 중요한 것은 표준정규분포의 답을 어떻게 만들면 일반적인 형태의 정규분포를 만들 수 있는지, 혹은 일반적인 정규분포의 형태를 어떻게 표준정규분포로 만드는지이다.

두 정규확률변수의 선형결합도 정규분포를 따름

• 모수인 평균과 분산은 ?

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지5

• X1과 X2가 정규분포를 따를 때, X1 + X2도 정규분포를 따른다.
• 추가가정: X1과 X2가 독립이면, 공분산 = 0

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 11-2 페이지5

• 이전에 두 확률변수가 독립이면 공분산은 0이고, 그 역은 성립하지 않느다 하였다.
  • 하지만, X1과 X2가 정규분포를 따르고 공분산이 0이면 X1과 X2는 독립이다. (정규분포일 때는 역이 해당됨)

예제

아침식사: 빵과 우유만 먹는다고 가정

• 빵의 열량: X ~ N(200, 12^2)
• 우유의 열량: Y ~ N(85, 9^2)
• 아침식사에서 300칼로리 이상 섭취할 확률은?  0.1587
  • X + Y ~ N(285, 12^2 + 9^2)

• 동일한 식사를 일주일 했을 때, 300kcal이상 섭취할 날이 하루일 확률은? (응용문제)
  • 매 실험아 300kcal이상 섭취한다 안한다, 그리고 각 날에 얻어지는 칼로리가 독립이면 베르누이 시행을 일주일동안 7번 한 것임
  • 이걸 300kcal 이상 섭취하면 성공, 아니면 실패로 보고 하루일 확률 U라고 할 때,
  • U ~ B(7, 0.1587)인 상황에서 P(U = 1)을 구하는 것.

---

요약

• 선형변환된 정규확률변수도 정규분포를 따름
• 정규확률변수의 선형결합도 정규분포를 따름
• 두 정규변수의 공분산이 0이면 두 변수는 독립