[통계학의 이해Ⅰ] 3주차 일변량 자료에 대한 수치적 기술통계 -5. 수치자료의 형태

해당 글은 숙명여자대학교 여인권 교수님의

K-MOOC 통계학의 이해Ⅰ(2019.05.01~2019.08.03) 강의를 수강하며 복습 및 정리하기 위해 작성한 글입니다.

추가적으로 여인권 교수님의 통계학 기본개념과 원리 2판을 참고하였습니다.

K-MOOC 사이트 링크 공유합니다.

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학습목표

• 자료의 분포 형태가 대칭인지 아닌지를 나타내는 통계값을 알아본다.
• 분포의 꼬리부분이 얼마나 두터운지를 나타내는 통계값을 알아본다.

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분포의 형태

• 많은 통계분석 방법은 모집단이 중심위치를 기준으로 대칭(symmetric)이라고 가정한다.
• 분석방법의 적절성은 가정한 조건을 자료가 얼마나 만족하고 있는지에 따라 영향을 받는다.
• 자료의 분포 형태에 대한 측도
  • 자료가 모집단의 가정을 만족하는지를 확인

왜도(skewness)

• 자료가 대칭적으로 분포되어 있는지, 한쪽으로 기울어져 있는지에 대한 측도
  • 평균 0, 표준편차 1인 자료의 히스토그램

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지2

• 왼쪽 그림의 경우 자료가 왼쪽으로 몰려있으며 오른쪽 꼬리 부분이 왼쪽보다 길게 분포되어 있다.
• 오른쪽 그림은 왼쪽 그림과 반대의 형태이고 중간 그림은 상대적으로 대칭인 구조를 가지고 있다.
• 이러한 대칭과 비대칭의 형태를 수치화하기 위해 피어슨 (Karl Pearson, 1857~1936)이 왜도라는 통계값을 제안했다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지3

• 왜도의 주요 부분은 편차의 세제곱인 (x_i - x bar)^3으로 평균을 중심으로 왼쪽의 자료는 음수, 오른쪽의 자료는 양수 값을 갖는다.
• 자료가 평균에서 멀어질수록 큰 음수나 큰 양수가 된다.
• 좌우가 비슷한 형태라면 음수와 양수가 상쇄되어 0에 가까운 값을 갖게 된다.
• 위 그림은 순서대로 양의 왜도(positive skewness), 대칭적 (symmetric), 음의 왜도 (negative skewness)를 갖는다고 한다.
• 다른 표현으로 양의 왜도를 영어로 "skewed to the right (오른쪽으로 치우쳤음)"이라고 하며 해당하는 쪽으로 꼬리게 길게 분포되었다는 것을 의미한다.
• 통계학에서는 꼬리가 길게 분포된 것을 두터운 꼬리 (heavy tail) 라고 부른다.
• SAS와 같은 일부 통계프로그램에서는 통계적 추론과 연관하여 성질을 더 좋게 하기 위해 수정된 왜도를 사용하기도 한다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지4

첨도(kurtosis)

• 양쪽꼬리가 얼마나 두터운지를 나타내는 값 (pearson이 제안)
  • 평균 0, 표준편차 1인 자료의 히스토그램

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지5

• 왼쪽 그림의 경우 꼬리가 짧고 오른쪽 그림은 꼬리가 길며 중간 그림은 양쪽 꼬리가 중간 정도를 가지고 있다.
• 꼬리가 길면 상대적으로 뽀죡한 경향을 보인다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지6

• 이 통계값의 주요 부분은 편차의 네 제곱인 (x_i - x bar)^4으로 평균을 중심으로 자료가 멀리 떨어져 있으면 상대적으로 매우 큰 값을 가지며 근처에 있으면 작은 값을 갖게 되는 것이다.
• 첨도는 왜도와 다르게 항상 양수가 되며 분포의 중심보다는 꼬리 부분이 얼마나 두터운지에 따라 영향을 받는다.
• 통계학에서 중요한 분포인 정규분포의 경우 이론적으로 첨도는 3이 된다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지6

• 따라서 첨도에 -3을 계산하여 사용하기도 하고, SAS같은 통계프로그램에서는 성질을 더 좋게 하기 위해 수정된 첨도를 사용하기도 한다.

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요약

• 왜도와 첨도는 자료 분포의 형태를 나타내는 측도이다.
• 심한 왜도를 가지거나 큰 첨도를 가지는 경우 자료에ㅐ 이상점이 있을 가능성이 높아진다.
• 주요 통계 분석 방법은 대부분 평균과 분산을 기반으로 하는데 이러한 통계값들은 이상점에 취약하다.
• 따라서 왜도나 첨도는 자료의 분포형태를 나타내는 측도뿐만 아니라 분석방법의 적절성을 확인하기 위한 측도로 사용될 수 있다.
• 대부분의 통계 기법은 모집단이 정규분포를 따른다는 가정하에 진행되기 때문에 정규성 검정을 해야된다.
  • 왜도 = 0, 첨도 =  3 → 하지만 왜도가 0, 첨도가 3이 아니라면? 
  • 정규 분포라는 것에 의문이 들 수 있으며 사용하는 분석 방법이 적절한지에 대한 의문이 들 수 있다.
  • 얼마나 값을 벗어나는지를 확인해야 되는데 이는 JB검정 방법을 통해 확인할 수 있다.

통계학의 이해Ⅰ 강의 자료 3-5의 페이지9

 

• 궁극적으로 분석을 할 때 분석 방법이 적절한지 아닌지는 데이터 형태에 따라서 달라진다. 데이터를 분석할 때 기본적인 가정들을 만족하지 않는다면 분석 방법이 적절하지 않을 수 있기 때문에 이러한 통계기법을 고려하여 사용할지 말지를 결정해야된다.